PENALARAN MATEMATIKA

BAB 1. PENALARAN MATEMATIKA

A.      Pengertian Logika

Logika Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika Matematika atau Logika Simbol  ialah logika  yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

B.       Kalimat Pernyataan

Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Pernyataan atau sering diistilahkan dengan kalimat deklaratif merupakan kalimat yang dapat ditentukan nilai dan kebenarannya, yaitu bernilai benar atau salah tetapi tidak bernilai benar dan salah sekaligus. Ada dua cara untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, yaitu sebagai berikut. Pertama, menentukan nilai pernyataan dengan cara empiris. Cara empiris merupakan nilai kebenaran kenyataan atau fakta pada saat tertentu dan ditempat tertentu. Misalnya, tadi pagi terjadi kecelakaan di depan porles Simak-Simak. Kedua, menentukan nilai kebenaran dengan cara nonempiris. Cara nonempiris merupakan nilai kebenaran yang bersifat mutlak. Misalnya dalam satu minggu ada tujuh hari.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :

1.         Ki Hajar Dewantoro adalah menteri pendidikan pertama

2.         Jika x = 5, maka 2x = 10

3.         0 adalah bilangan cacah

Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :

1.        Kelereng berbentuk segitiga

2.       1 – 4 = 3

3.      Indonesia terletak di benua Afrika

Contoh 3 (Bukan pernyataan) :

1.        x + 3 = 0 

2.        Ambilkan sapu itu!

3.        Berapa umur anda?

Soal Latihan

1. Tulislah masing-masing tiga buah contoh

a. Penyataan yang benar

b. Pernyataan yang salah

c. Bukan pernyataan

2. Tentukan kalimat Pernyataan yang bernilai Benar (B) dan Salah (S)!

a.    Ibu kota Indonesia adalah Jakarta

b.    Ada 24 jam dalam sehari

c.    81 habis dibagi 8

d.   Bunga anggrek berwarna putih

e.    Presiden RI ketiga adalah Megawati

C.      Kalimat Terbuka

Pengertian Kalimat Terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel. Dalam matematika yang dimaksud dengan kalimat terbuka adalah kalimat yang belum mempunyai nilai kebenaran. Dalam kehidupan sehari-hari kalimat terbuka biasanya berbentuk kalimat tanya atau kalimat perintah. Sedangkan dalam matematika kalimat terbuka berbentuk persamaan atau pertidaksamaan.

Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Beberapa istilah yang perlu diketahui.

1.        Variabel

Huruf x disebut variabel. Sebuah variabel mewakili sembarang anggota dalam semesta pembicaraan ( himpunan pengganti ).

Misalkan himpunan pengganti dari x² – 5x + 4 = 0 adalah:

{ 1 , 2 , 5 } maka :

x = 1 => 1² – 5.1 + 4 = 0 ( benar )

     x = 2 => 2² – 5.2 + 4 = 0 ( salah )

     x = 5 => 5² – 5.5 + 4 = 0 ( salah )

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka bernilai benar disebut penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaian itu disebut himpunan penyelesaian.

Pada contoh diatas HP = { 1 }

2.        Konstanta

Pada kalimat ”x² – 5x + 4 = 0 ”, bilangan-bilangan 1 , – 5 , 4 dan 0  disebut konstanta. Suatu konstanta hanya mewakili anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Contoh Kalimat Terbuka

Contoh          : Diketahui 7x + 4 = 18. Tentukan nilai kebenarannya

Penyelesaian :  7x + 4 = 18

                                Untuk x = 2 maka :

ð  7.2 + 4 = 18

ð   14 + 4 =18

        Jadi untuk x= 2 bernilai benar

Contoh          : Diketahui kalimat terbuka x² – 3x – 18 ≤ 0. Tentukan nilai

                         kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai  kebenaran untuk

                                     x = – 4.

       Penyelesaian : Kalimat terbuka: x² – 3x – 18 ≤ 0.

                               Untuk x = 5 maka:

        => x² – 3x – 18 ≤ 0

        => 5² – 3.5 – 18 ≤ 0

        => 25 – 15 – 18 ≤ 0

        => –8 ≤ 0

        Jadi untuk x = 5 bernilai benar.

        Untuk x = – 4 maka:

          => x² – 3x – 18 ≤ 0

          => (– 4)² – 3.(– 4) – 18 ≤ 0

          => 16 + 12 - 18 ≤ 0

          => 10 ≤ 0

        Jadi untuk x = – 4 bernilai salah.

Soal Latihan

1.        Diketahui x³ + 3x² – 2x – 4 ≤ 0. Tentukan  nilai kebenaran untuk x = 5 dan tentukan nilai kebenaran untuk x = 4.

2.        Diketahui 15x - 9 = 20. Tentukan nilai kebenarannya

D.      Ingkaran Atau Negasi

Ingkaran atau Negasi adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya. Ingkaran digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan.

Cara menentukan ingkaran dari suatu pernyataan adalah dengan menambah kata:

1.        Tidak benar bahwa….

2.        Tidak…

3.        Bukan….

Lambang Negasi

Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".

Contoh 1 : Jika pernyataan  p: Jakarta ibu kota Indonesia (B)

       ~p: Jakarta Bukan ibu kota Indonesia (S)

          Atau ~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Indonesia (S)

Contoh 2 : Jika pernyataan  p: 17 adalah bilangan genap (S)

       ~p: 17 bukan bilangan genap (B)

          Atau ~p: Tidak benar bahwa 17 adalah bilangan genap (B)

                     

Tabel Nilai Kebenaran Negasi atau ingkaran

p	~p
B	S
S	B

Jadi, apabila p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Apabila p adalah suatu pernyataaan yang bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Ingkaran p ditulis dengan ~p, dibaca “ingkaran p” atau “negasi p” atau “bukan / tidak p”

Latihan Soal

1.    Tentukan Ingkaran atau negasi dari:

a.       Harga BBM naik

b.      2 + 2 = 5

2.    Tentukan negasi dari setiap kalimat berikut:

a.       Balok merupakan bangun ruang

b.      36 habis dibagi 5

E.       Konjungsi

Konjungsi adalah kalimat majemuk yang terdiri dari dua pernyataan, misalnya p dan q yang digabungkan dengan kata hubung logika “dan”. Dinotasikan seperti berikut “p  ∧  q”.

Contoh            :

1.      p : 3 adalah bilangan prima (B)

q : 3 adalah bilangan ganjil (B)

p  ∧  q : 3 adalah bilangan prima dan ganjil (B)

2.      p : 3 adalah bilangan prima (B)

q : 3 adalah bukan bilangan ganjil (S)

p  ∧  q : 3 adalah bilangan prima dan bukan ganjil (S)

3.      p : 3 adalah bukan bilangan prima (S)

q : 3 adalah bilangan ganjil (B)

p  ∧  q : 3 adalah bukan bilangan prima dan ganjil (S)

4.      p : 3 adalah bukan bilangan prima (S)

q : 3 adalah bukan bilangan ganjil (S)

p  ∧  q : 3 adalah bukan bilangan prima dan bukan ganjil (S)

Tabel kebenaran suatu konjungsi :

p	q	p ˄ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Jadi pernyataan konjungsi p ∧ q akan bernilai benar bila kedua-duanya benar. Sedangkan nilai kebenaran yang lain yaitu bernilai salah.

Soal Latihan :

1.    Buatlah bentuk konjungsi dari p dan q, serta tentukan nilai kebenarannya!

p : gajah merupakan hewan unggas

q : bebek merupakan hewan amfibi

2.    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi berikut!

“Amira cantik dan pandai”

Negasi Suatu Konjungsi

Perhatikan konjungsi berikut ini :

            Andi lulus ujian dan dibelikan mobil

Konjungsi diatas berasal dari pernyataan :

p          : Andi lulus ujian (B)

            q          : Andi dibelikan mobil (B)

jika dinegasikan akan menjadi seperti pernyataan dibawah ini :

~p        : Andi tidak lulus ujian (S)

~q        : Andi tidak dibelikan mobil (S)

Jadi,     p  ∧  q  : Andi lulus ujian dan dibelikan mobil (B)

          ~p ∧ ~q  : Andi tidak lulus ujian dan tidak dibelikan mobil (S)

         ~(p ∧   q)            : Tidak benar bahwa Andi lulus ujian dan dibelikan mobil (S)

          ~p ˅ ~q  : Andi tidak lulus ujian atau tidak dibelikan mobil (S)

Tabel kebenaran negasi suatu konjungsi :

p	q	~ p	~ q	p ˄  q	~ (p ˄ q)	~p ˄ ~q	~p ˅ ~q
B	B	S	S	B	S	S	S
B	S	S	B	S	B	S	B
S	B	B	S	S	B	S	B
S	S	B	B	S	B	B	B

Jadi, negasi suatu konjungsi p  ∧ q adalah ~(p ˄ q) dengan ketentuan seperti dibawah ini :

Soal Latihan :

1.      Tentukan ingkaran dari pernyataan 17 merupakan bilangan prima dan 10 merupakan bilangan genap

2.      Tentukan ingkaran dari: Persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku dan persegi memiliki 4 sudut yang sama besar

F.       Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata gabung “ATAU” yang disimbolkan dengan “˅” . Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “p ˅ q” yang dibaca “p atau q” .

Contoh     :

1.      Diketahui :      p : Aves berkembang biak dengan ovipar 

q :  Mamalia berkembang biak dengan melahirkan                     Nyatakan bentuk logika berikut dalam kalimat disjungsi!

Penyelesaian:  p : Aves berkembang biak dengan ovipar  (B)

                        q :  Mamalia berkembang biak dengan  melahirkan (B)

                  p ˅ q : Aves berkembang biak dengan ovipar  atau Mamalia    

                 berkembang biak dengan melahirkan (B)

2.      Tentukan pernyataan dibawah ini menjadi kalimat disjungsi!

  p : Harimau merupakan hewan herbivora

                          q : Sapi merupakan pemakan rumput

Penyelesaian  :  p : Harimau merupakan hewan herbivora (S)

                                      q : Sapi merupakan pemakan rumput (B)

                                 p ˅ q : Harimau merupakan hewan herbivora atau sapi 

                                            merupakan hewan pemakan rumput (B)

Tabel kebenaran disjungsi :

p	q	p ˅ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Jadi, disjungsi “p atau q” benilai salah apabila pernyataan p dan q bernilai salah . Dalam kondisi yang lainnya disjungsi “p ˅ q” bernilai benar .

Negasi Suatu Disjungsi

Perhatikan contoh berikut ini :

Air adalah benda cair atau Es adalah air yang mendidih

pernyataan diatas berasal dari pernyataan tunggal :

   p : Air adalah benda cair (B)

   q : Es adalah air yang mendidih (S)

Jadi, apabila pernyataan disjungsi tersebut dinegasikan, maka akan menjadi seperti ini :

              ~p : Air adalah bukan benda cair (S)

              ~q : Es adalah bukan air yang mendidih (B)

Jadi , p ˅ q : Air adalah benda cair atau es adalah air yang mendidih (B)

 ~p ˅ ~q : Air adalah bukan benda cair atau es adalah bukan air yang mendidih (B)

     ~(p ˅ q) : Tidak benar bahwa Air adalah benda cair atau es adalah air yang mendidih (S)

      ~p ˄ ~q : Air adalah bukan benda cair dan es adalah bukan air yang mendidih (S)

Tabel kebenaran suatu Disjungsi :

p	q	~p	~q	p ˅ q	~(p ˅ q)	~p ˅ ~q	~p ˄ ~q
B	B	S	S	B	S	S	S
B	S	S	S	B	S	B	S
S	B	B	B	B	S	B	S
S	S	B	B	S	B	B	B

Jadi, negasi suatu disjungsi p ˅ q adalah ~(p ˅ q) dengan ketentuan seperti dibawah ini :

Soal latihan :

1.      Tentukan negasi dari pernyataan : kucing merupakan hewan berkaki 4 atau kucing hewan pemakan rumput.

2.      Tentukan negasi dari pernyataan : Belah ketupat memiliki 2 diagonal yang sama atau segitiga sama sisi memiliki 2 sisi yang sama besar

G.      Implikasi Atau Kondisional

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “Jika...Maka...” (sebab-akibat). Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI / PERNYATAAN BERSYARAT / KONDISIONAL dengan notasi "®".

Notasi “p ® q” dapat dibaca:

1.    Jika p maka q

2.    q jika p

3.    p adalah syarat cukup untuk q

4.    q adalah syarat perlu untuk p

5.    q bilamana p

Contoh : Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:

1.      Jika Susilo giat belajar maka lulus ujian.

2.      Rahmad akan naik kelas jika ia rajin sekolah.

3.      Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.

4.      Syarat perlu bagi murid agar dapat mengambil rapor adalah dengan mengajak orang tua.

5.      Longsor terjadi bilamana hutan ditebangi.

Pada implikasi  “p ® q”, proposisi (p) disebut pendahulu/sebab (anteseden) dan proposisi (q) disebut pengikut (consequent). Nama lain p disebut hipotesis dan q disebut konklusi (kesimpulan).

Contoh Implikasi :

1.      p          : Bima mengerjakan tugas (B)

q          : Bima mendapatkan nilai (B)

p ® q  : Jika Bima mengerjakan tugas, maka mendapatkan nilai

\ pernyataan p ® q bernilai Benar (karena Sebab : Bima mengerjakan

     tugas, akibat : Bima mendapatkan nilai)

2.      p          : Bima mengerjakan tugas (B)

q          : Bima tidak mendapatkan nilai (S)

p ® q  : Jika Bima mengerjakan tugas, maka tidak mendapatkan nilai

\ pernyataan p ® q bernilai Salah (karena Sebab : Bima mengerjakan

    tugas, akibat : Bima tidak mendapatkan nilai. Jadi ada pihak yang

    dirugikan)

3.      p          : Bima tidak mengerjakan tugas (S)

q          : Bima mendapatkan nilai (B)

p ® q : Jika Bima tidak mengerjakan tugas, maka mendapatkan nilai

 \pernyataan p ® q tidak dapat dikatakan Salah (karena kemungkinan Bima saat itu mendapatkan nilai tetapi dia mendapatkan nilai dengan angka/nominal yang serendah mungkin seperti “nol”. Sehingga pernyataan p ® q bernilai Benar)

4.      p          : Bima tidak mengerjakan tugas (S)

q          : Bima tidak mendapatkan nilai (S)

 p ® q : Jika Bima tidak mengerjakan tugas, maka tidak mendapatkan

  nilai

\ pernyataan p ® q bernilai Benar (karena Sebab : Bima tidak

    mengerjakan tugas, akibat : Bima tidak mendapatkan nilai)

Tabel Kebenaran Implikasi :

p	q	p ® q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Berdasarkan tabel diatas, Nilai kebenaran suatu implikasi tergantung pada nilai kebenaran dari pernyataan “p” dan pernyataan “q”. Implikasi bernilai salah apabila pernyataan tunggal (p) bernilai benar dan pernyataan (q) bernilai salah. Sedangkan untuk nilai kebenaran pendahulu (p) dan pengikut (q) yang lain bernilai benar.

Soal Latihan :

1.    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

a.         Jika hari tidak hujan maka ayah berangkat kerja

b.        Jika sinta giat belajar maka mendapatkan nilai bagus

2.      Diketahui p :  suhu mencapai 80°C

     q :  udara terasa panas

Tentukan implikasi dari pernyataan diatas!

Negasi Suatu Implikasi

Perhatikan implikasi berikut ini :

“Jika Rano bekerja Maka Rano mendapat gaji.”

Pernyataan diatas berasal dari pernyataan p dan pernyataan q

p          : Rano bekerja (B)

            q          : Rano mendapat gaji (B)

jika dinegasikan akan menjadi seperti pernyataan dibawah ini :

~p        : Rano tidak bekerja (S)

~q        : Rano tidak mendapat gaji (S)

Jadi    p ® q    : Jika Rano bekerja Maka mendapat gaji (B)

        ~p ® ~q  : Jika Rano tidak bekerja Maka tidak mendapat gaji (B)

       ~(p ® q)  : Tidak benar jika Rano bekerja maka mendapat gaji. (S)

          p ˄ ~q    : Rano bekerja dan tidak mendapat gaji (S)

Tabel Kebenaran Negasi Suatu Implikasi

                             

p	q	~p	~q	p ® q	~(p ® q)	~p ® ~q	p ˄ ~q
B	B	S	S	B	S	B	S
B	S	S	B	S	B	B	B
S	B	B	S	B	S	S	S
S	S	B	B	B	S	B	S

Tampak pada Tabel bahwa urutan nilai kebenaran dari “~(p ® q)” sama dengan urutan nilai kebenaran dari “p ˄ ~q”. Hal ini dapat disimpulkan bahwa negasi dari suatu implikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi itu.

~(p ® q) ≡ p ˄ ~q

Soal Latihan :

1.      Tentukan negasi dari implikasi berikut:

“Jika Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta Maka Ibukota  negara Malaysia adalah Kuala Lumpur”

2.      Tentukan negasi dari implikasi berikut:

“Jika ibu memasak maka saya tidak akan lapar”

H.      Biimplikasi

Biimplikasi ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p⇔q”.

Contoh :

a.       p : Manusia dapat hidup (B)

q : Manusia bernafas (B)

p ⇔ q : Manusia dapat hidup jika dan hanya jika bernafas (B)

b.      p : Manusia dapat hidup (B)

q : Manusia tidak bernafas (S)

p ⇔ q : Manusia dapat hidup jika dan hanya jika tidak bernafas (S)

c.       p : Manusia tidak dapat hidup (S)

q : Manusia bernafas (B)

p ⇔ q : Manusia tidak dapat hidup jika dan hanya jika bernafas (S)

d.      p : Manusia tidak dapat hidup (S)

q : Manusia tidak bernafas (S)

p ⇔ q : Manusia tidak dapat hidup jika dan hanya jika tidak bernafas (B)

Berikut merupakan tabel kebenaran dari pernyataan biimplikasi :

p	q	p ⇔  q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Berdasarkan tabel diatas, pernyataan biimplikasi “p⇔q” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah), sedangkan jika nilai kebenaran p dan q tidak sama maka p ⇔ q merupakan pernyataan yang salah. Biimplikasi dapat dikatakan berasal dari implikasi “ p → q” dan konversnya, yaitu “q → p”. Dibentuk konjungsi antara implikasi dan konversnya tersebut, yaitu “(p → q) ˄ (q → p)”.

Tabel kebenaran biimplikasi yang berasal dari konjungsi “(p → q)˄(q → p)”

p	q	p → q	q → p	(p → q) ˄ (q → p)
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

Soal Latihan

1.      Perhatikan pernyataan berikut ini :

p : Sapi adalah hewan karnivora

q : kucing merupakan hewan amfibi

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan biimplikasi diatas!    

2.      Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut ini :

2+ 2 = 4 jika dan hanya jika 4 adalah bilangan ganjil.

Negasi dari Suatu Biimplikasi

Perhatikan contoh biimplikasi berikut ini :

            “Budi berangkat sekolah jika dan hanya jika mendapat uang saku“

Pernyataan diatas berasal dari pernyataan p dan pernyataan q

p          : Budi berangkat sekolah (B)

            q          : Budi mendapat uang saku (B)

jika dinegasikan akan menjadi seperti pernyataan dibawah ini :

~p        : Budi tidak berangkat sekolah (S)

~q        : Budi tidak mendapat uang saku (S)

Jadi    p ⇔ q   : Budi berangkat sekolah jika dan hanya jika mendapat uang saku

  (B)

        ~p ⇔ ~q  : Budi tidak berangkat sekolah jika dan hanya jika tidak mendapat uang saku (B)

       ~(p ⇔ q)  : Tidak benar bahwa Budi berangkat sekolah jika dan hanya jika mendapat uang saku (S)

(p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p) : Budi berangkat sekolah dan tidak mendapat uang saku atau

          Budi mendapat uang saku dan tidak berangkat sekolah (S)

Tabel kebenaran negasi dari suatu biimplikasi :

p	q	~p	~q	p⇔q	~( p⇔q )	(p ˄ ~q)	(q ˄ ~p)	(p ˄ ~q) ˅ (q ˄~p)
B	B	S	S	B	S	S	S	S
B	S	S	B	S	B	B	S	B
S	B	B	S	S	B	S	B	B
S	S	B	B	B	S	S	S	S

Jadi, apabila bii mplikasi semula dinyatakan sebagai “p ↔ q “ maka “ ~ ( p ↔ q ) ” bukan “~p ↔ ~q”. Biimplikasi “p ↔ q “ adalah singkatan dari “(p → q) ˄ (q → p)” maka p ⇔ q  ≡ (p → q) ˄ (q→ p)  maka

                    ~ (p ⇔ q) ≡ ~ (( p → q ) ˄ (q → p))

               ≡ ~ (p → q) ˅  (q → p)        (negasi konjungsi)

              ≡  (p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p)            (negasi implikasi)

~ (p ⇔ q) ≡ (p˄~q) ˅ (q˄~p)

Selain di bentuk dari 2 pernyataan, kalimat konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi juga dapat dibentuk dari 3 pernyataan atau lebih.

Contohnya seperti tabel kebenaran dibawah ini.

p	q	r	p →q	(p → q) ˅ r
B	B	B	B	B
B	S	B	S	B
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B
S	B	S	B	B
S	S	S	B	B

Soal Latihan :

1.        Tentukan negasi biimplikasi dari kalimat berikut !

Jakarta adalah Ibukota Singapura jika dan hanya jika Singapura adalah anggota ASEAN.

2.        Tentukan negasi biimplikasi dari kalimat berikut !

  4 adalah faktor dari 2 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan genap.

I.              Invers , Konvers , Dan Kontraposisi

Dari pernyataan yang berupa implikasi p à q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut :

a.        Invers

Invers adalah pernyataan majemuk berbentuk ~p ⇒ ~q

Contoh :

Tentukan invers dari pernyataan berikut :

a)   Jika turun hujan maka Andin tidak pergi ke pasar.

b)   Jika saya punya uang maka saya membeli rumah.

Penyelesaian :

a)   Jika tidak turun hujan maka Andin pergi ke pasar.

b)   Jika saya tidak punya uang maka saya tidak membeli rumah.

b.      Konvers

Konvers adalah pernyataan majemuk berbentuk q ⇒ p

Contoh :

Tentukan konvers dari pernyataan berikut :

a)   Jika kamu makan maka tidak lapar.

b)   Jika habis dibagi 2 maka bilangan itu adalah bilangan genap.

Penyelesaian :

a)   Jika tidak lapar maka kamu makan.

b)   Jika bilangan itu adalah bilangan genap maka habis dibagi 2.

           

c.       Kontraposisi

Kontraposisi adalah pernyataan majemuk berbentuk ~q ⇒ ~p

Contoh :

Tentukan kontraposisi dari pernyataan berikut :

a)   Jika saya telat maka saya dihukum

b)   Jika ibu sakit maka saya sedih

Penyelesaian :

c)    Jika saya tidak dihukum maka saya tidak telat

d)   Jika saya tidak sedih maka ibu tidak sakit

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi, Perhatikan tabel kebenaran di bawah ini :

p	q	Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
		p à q	q à p	~p à ~q	~q à ~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Soal Latihan

1.      Tentukan dan kontraposisi dari kalimat berikut!

Jika hujan turun maka air sungai meluap

2.      Tentukan invers,  konvers dan kontraposisi dari kalimat berikut!

Jika lampu mati maka saya tidak dapat belajar

J.        Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan adalah intisari dari hasil eksperimen dan pernyataan mengenai hubungan hasil eksperimen dengan hipotesis, termasuk juga alasan-alasan yang menyebabkan hasil eksperimen hasil eksperimen berbeda dengan hipotesis. Jika perlu kesimpulannya dapat diakhiri dengan memberikan masukan-masukan untuk pengujian selanjutnya.

Setiap kesimpulan yang dibuat oleh peneliti semata-mata didasarkan pada data yang dikumpulkan dan diolah. Hasil penelitian tergantung pada kemampuan peneliti untuk menfasirkan secara logis data yang telah disusun secara sistematis menjadi ikatan pengertian sebab-akibat obyek penelitian. Setiap kesimpulan dapat diuji kembali validitasnya dengan jalan meneliti jenis dan sifat data dan model yang digunakan.

Penyusunan bab tentang kesimpulan ditujukan untuk memberi ringkasan tentang:

a.    Apa yang telah dipelajari (biasanya di bagian awal kesimpulan)

b.    Apa saja yang masih harus dipelajari (arah penelitian berikutnya)

c.    Hasil yang diperoleh dalam penelitian (evaluasi)

d.   Manfaat, kelebihan, dan aplikasi temuan penelitian (evaluasi)

e.    Rekomendasi

Kesimpulan seharusnya ringkas saja. Sebagai gambaran, pada banyak publikasi hasil penelitian bagian kesimpulan mencakup hingga 2,5% dari keseluruhan laporan. Kesimpulan yang terlalu panjang seringkali disebabkan memuat rincian yang tidak perlu.

Ada 3 kaidah penarikan kesimpulan:

1.      Modus Ponens

   premis 1 : p → q

   premis 2 : p             ( modus ponens)

  __________________

   Kesimpulan: q

Contoh Soal:

  premis 1 : Jika ibu datang maka adik senang

  premis 2 : Ibu datang

  __________________                                                                                         

  Kesimpulan: Adik senang

Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai ((p→q)˄p)→q Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi ((p→q)˄p)→q merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Tabel nilai kebenaran dari ((p→q)˄p)→q

p	q	(p→q)	(p→q) ˄ p	((p→q) ˄ p)→q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Dari tabel diatas tampak bahwa ((p→q) ˄ p) → q merupakan  tautologi, jadi argument tersebut sah.

2. Modus Tollens

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

__________________

Kesimpulan: ~p

Contoh Soal:

premis 1 : Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

premis 2 : Ibu tidak memakai payung

___________________________________________

Kesimpulan : Hari tidak hujan

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ((p→q)˄~q)→~p , sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut

Tabel nilai kebenaran ((p→q) ˄ ~q) → ~p

p	q	~p	~q	(p→q)	(p→q)	((p→q) ˄ ~q) → ~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

3. Silogisme

premis 1 : p → q

premis 2 : q → r            ( silogisme)

_______________

Kesimpulan:  p → r

Contoh Soal:

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan  pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

       __________________________________________________________

       Kesimpulan:  Jika harga BBM naik semua orang tidak senang

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai ((p→q)˄(q→r))→(p→r) sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran ((p→q)˄(q→r))→(p→r)

p	q	r	p→q	q→r	p→r	(p→q)˄(q→r)	((p→q)˄(q→r))→(p→r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel tampak bahwa ((p→q)˄(q→r))→(p→r) merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Contohnya seperti tabel kebenaran dibawah ini.

p	q	p v q	~(pvq)	~ (pvq) ˄ p
B	B	B	S	S
B	S	B	S	S
S	B	B	S	S
S	S	S	B	S

Soal Latihan

1.        Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah ....

2.        Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
3. Ani tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah ...